如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD

如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.(1)求证:△CDE∽△CAD;(2)若AB=2,AC... 如图,AB是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,连接OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,连接AD.(1)求证:△CDE∽△CAD;(2)若AB=2,AC=2 ,求AE的长. 展开
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(1)证明见解析
(2)


试题分析:(1)由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°,则有∠B+∠BAD=90°,由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°,则∠B=∠CAD,由于∠B=∠ODB,∠ODB=∠CDE,所以∠B=∠CDE,则∠CAD=∠CDE,加上∠ECD=∠DCA,则可得到△CDE∽△CAD;
(2)在Rt△AOC中,OA=1,AC=2 ,由勾股定理可得OC=3,则CD=OC﹣OD=2,由△CDE∽△CAD,根据相似比可计算出CE的长,从而可得AE的长
试题解析:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∵AC为⊙O的切线,
∴BA⊥AC,
∴∠BAC=90°,即∠BAD+∠DAE=90°,
∴∠B=∠CAD,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
而∠ODB=∠CDE,
∴∠B=∠CDE,
∴∠CAD=∠CDE,
而∠ECD=∠DCA,
∴△CDE∽△CAD;
(2)∵AB=2,
∴OA=1,
在Rt△AOC中,AC=2
∴OC= =3,
∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2,
∵△CDE∽△CAD,
= ,即 =
∴CE=
∴AE=AC-CE=
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