Question

设二次型f(x1，x2，x3)＝x21?x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是______

设二次型f(x1，x2，x3)＝x21?x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是______．

Answer 1

【解法1】
因为：
A=

1 0 a 0 ?1 2 a 2 0

，

.

λE?A

.

=

.

λ?1 0 ?a 0 λ+1 ?2 ?a ?2 λ

.

=λ³-（a²+5）λ+（4-a²），
故有：λ₁λ₂λ₃=a²-4，
如果二次型的负惯性指数为1，
则有：λ₁λ₂λ₃≤0，
从而由：a²-4≤0，
解得：-2≤a≤2，
故答案为[-2，2]．

【解法2】
由配方法可知：
f（x₁，x₂，x₃）=x12?x22+2ax1x3+4x2x3=(x1+ax3)2?(x2?2x3)2+(4?a2)x32，
由于负惯性指数为1，
故必须要求4-a²≥0，
所以a的取值范围是：[-2，2]，
故答案为[-2，2]．