Question

探究：如图（1），在?ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC，EF．在

探究：如图（1），在?ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连接AC，EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用：以?ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图（2），连接EF，GH，IJ，KL．若?ABCD的面积为6，则图中阴影部分四个三角形的面积和为______．推广：以?ABCD的四条边为矩形长边，在其形外分别作长与宽之比为3矩形，如图（3），连接EF，GH，IJ，KL．若图中阴影部分四个三角形的面积和为123，求?ABCD的面积？



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Answer 1

探究：△ABC或△ADC，
证明：∵△AFB和△ADE是等腰直角三角形，
∴AF=AB，AE=AD，∠FAB=∠EAD=90°，
∴∠FAE+∠DAB=360°-90°-90°=180°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=AE，AB=CD=AF，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠FAE=∠ABC，
在△FAE和△ABC中

AF＝AB ∠FAE＝∠ABC AE＝BC

，
∴△FAE≌△ABC，
同法可求△FAE≌△CDA；


应用：
解：过B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，过I作IZ⊥JC交JC的延长线于Z，过G作GR⊥BH于R，
则∠Q=∠BSC=90°，S_{平行四边形ABCD}=AD×BO=CD×BS=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，∠BAD=∠BCD，
∵四边形ABGF、四边形BCIH、四边形CDKJ、四边形ADKL是正方形，
∴AE=AD=BC，DK=CD=AB，∠EAD=∠FAB=90°，
∴∠EAF+∠BAD=360°-90°-90°=180°，
∵∠EAQ+∠EAF=180°，
∴∠EAQ=∠BAD=∠BCS，
在△EQA和△BSC中

∠EAQ＝∠BCS ∠Q＝∠BSC AE＝BC

，
∴△EQA≌△BSC，
∴EQ=BS，
∵AF=AB=CD，
∴AF×EQ=CD×BS=6，
∴S_△EAF=

1

2

AF×EQ=

1

2

×6=3，
同理S_△CIJ=3，S_LDK=

1

2

LD×KW=

1

2

AD×BO=

1

2

×6=3，
S_△GBH=3，
∴图中阴影部分四个三角形的面积和为3+3+3+3=12，
故答案为：12；

推广：
解：B作BO⊥AD于O，BS⊥CD于S，过E作EQ⊥FA，交FA延长线于Q，过K作KW⊥LD于W，
则∠Q=∠BSC=90°，S_{平行四边形ABCD}=AD×BO=CD×BS，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=

3

a，AB=CD=

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