Question

已知关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0．（1）求证：

已知关于x的方程x2-kx+k2+n=0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）2-8（2x1+x2）+15=0．（1）求证：n＜0；（2）试用k的代数式表示x1；（3）当n=-3时，求k的值．

Answer 1

证明：（1）∵关于x的方程x²-kx+k²+n=0有两个不相等的实数根，
∴△=k²-4（k²+n）=-3k²-4n＞0，
∴n＜-

3

4

k²．
又-k²≤0，
∴n＜0．

解：（2）∵（2x₁+x₂）²-8（2x₁+x₂）+15=0，x₁+x₂=k，
∴（x₁+x₁+x₂）²-8（x₁+x₁+x₂）+15=0
∴（x₁+k）²-8（x₁+k）+15=0
∴[（x₁+k）-3][（x₁+k）-5]=0
∴x₁+k=3或x₁+k=5，
∴x₁=3-k或x₁=5-k．

（3）∵n＜-

3

4

k²，n=-3，
∴k²＜4，即：-2＜k＜2．
原方程化为：x²-kx+k²-3=0，
把x₁=3-k代入，得到k²-3k+2=0，
解得k₁=1，k₂=2（不合题意），
把x₂=5-k代入，得到3k²-15k+22=0，△=-39＜0，所以此时k不存在．
∴k=1．