Question

已知等比数列{an}满足：|a2-a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，

已知等比数列{an}满足：|a2-a3|=10，a1a2a3=125．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数m，使得1a1+1a2+…+1am≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则由已知可得

a 3 1 q3＝125 |a1q?a1q2|＝10

解得

a1＝ 5 3 q＝3

或

a1＝?5 q＝?1.

故an＝

5

3

?3n?1，或an＝?5?(?1)n?1．
（Ⅱ）若an＝

5

3

?3n?1，则

1

an

＝

3

5

?(

1

3

)n?1，
故{

1

an

}是首项为

3

5

，公比为

1

3

的等比数列，
从而

m

n＝1

1

an

＝

3 5 [1?( 1 3 )m]

1? 1 3

＝

9

10

?[1?(

1

3

)m]＜

9

10

＜1．
若an＝(?5)?(?1)n?1，则

1

an

＝?

1

5

(?1)n?1，故{

1

an

}是首项为?

1

5

，公比为-1的等比数列，
从而

m

n＝1

1

an

＝

? 1 5 ，m＝2k?1(k∈N+) 0，m＝2k(k∈N+).

故

m

n＝1

1

an

＜1．
综上，对任何正整数m，总有

m

n＝1

1

an

＜1．
故不存在正整数m，使得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥1成立．