Question

（2014?淄博二模）如图所示，平行金属板a、b水平放置，板长L=0.2m，板间距离d=0.2m．两金属板间加可调控

（2014?淄博二模）如图所示，平行金属板a、b水平放置，板长L=0.2m，板间距离d=0.2m．两金属板间加可调控的电压U，且保证a板带负电，b板带正电，忽略电场的边缘效应．在金属板右侧有一磁场区域，其左右总宽度s=0.4m，上下范围足够大，磁场边界MN和PQ均与金属板垂直，磁场区域被等宽地划分为n（正整数）个竖直区间，磁感应强度大小均为B=5×10-3T，从左向右磁场方向为垂直纸面向外、向内、向外、向内…依次交替．在极板左端有一粒子源，不断地向右沿着与两板等距离的水平线OO′，发射比荷qm=1×108C/kg、初速度v0=2×105m/s的带正电粒子．忽略粒子重力以及它们之间的相互作用．（1）当U=UO时，带电粒子射出电场时速度的偏向角最大，求UO和最大偏向角θ（2）若n=1，即只有一个磁场区间，其方向垂直纸面向外，则当电压由0连续增大到Uo过程中，求带电粒子射出磁场边界PQ区域的宽度．（带电粒子穿过电场区域的极短时间内可认为两板间电压恒定）（3）若n趋向无穷大，求从电场射出的带电粒子在磁场中运动的时间t．

Answer 1

（1）设速度偏向角为θ，则tanθ=

vy

v0

，显然当v_y最大时，tanθ最大．
当粒子恰好从极板右边缘出射时，速度偏向角最大．
竖直方程：y=

d

2

=

1

2

at²，a=

qU

md

；
水平方程：x=L=v₀t
解得：
θ=45°
U=400V
（2）由几何关系知，逐渐增大U_ba，速度偏向角变大，磁偏转半径变大，与PQ交点逐渐上移．
当U=0时，交点位置最低（如图中D点）：
由Bqv₀=m

v 2 0

r1

得：
r₁=

mv0

Bq

=0.4m；
此时交点D位于OO′正下方0.4m处．
当U=400V时，交点位置最高（如图中C点）：
由v_y=at=

Uq

dm

?

L

v0

=2×10⁵m/s
得：v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v₀=2

2

×10⁵m/s
由Bqv=m

v2

r2

，
得：r₂=

mv

Bq

=0.4

2

m
由几何关系得，此时交点位于OO′正上方r₂-

2

2

r2+

d

2

=0.4

2

-0.3（m）处．
所以交点范围宽度为：CD=0.4+0.4

2

-0.3=0.1+0.4

2

（m）
（3）考虑粒子以一般情况入射到磁场，速度为v，偏向角为θ，当n趋于无穷大时，运动轨迹趋于一条沿入射速度方向的直线（渐近线）．
又因为速度大小不变，因此磁场中运动可以等效视为匀速直线运动．


轨迹长度为：S′=

S

cosθ

，运动速率为：v=

v0

cosθ

时间为：t=

S′

v

=

S

v0

代入数据解得：t=2×10^-6s
答：（1）当U取400V时，带电粒子射出电场时的速度偏向角最大，为45°；
（2）当电压由0连续增大到U过程中带电粒子射出磁场时与边界PQ相交的区域的宽度为0.1+0.4

2

（m）；
（3）若n趋向无穷大，则偏离电场的带电粒子在磁场中运动的时间t为2×10^-6s．