Question

如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒

如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限．一动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA，过点P作PD⊥OB于点D．（1）填空：PD的长为______用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标（用含t的代数式表示）；（3）在点P从O向A运动的过程中，△PCA能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）填空：在点P从O向A运动的过程中，点C运动路线的长为______．

Answer 1

（1）∵△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
∵PD⊥OB，
∴∠PDO=90°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=

1

2

OP．
∵OP=t，
∴OD=

1

2

t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得
PD=

3

2

t
故答案为：

3

2

t

（2）如图（1）过C作CE⊥OA于E，
∴∠PEC=90°，
∵OD=

1

2

t，
∴BD=4-

1

2

t．
∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，
∴∠BPC=60°．
∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°．
∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴

CE

PD

＝

PC

PB

，

PE

BD

＝

PC

PB

∴

CE

3 2 t

＝

1

2

，

PE

4? 1 2 t

＝

1

2

，
∴CE=

3

4

t，PE=2?

1

4

t，OE=