Question

一道微积分题

不求函数f（x）=x（x-1）（x-2）（x-3）的导数，说明方程f '（x）=0有几个实根，并指出它的区间

Answer 1

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函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，显然是一个4次方函数。它的定义域是任意实数。该函数在整个实数期间是连续的、处处可导的。

很容易求得方程 f(x)=0 共有且仅有四个解，即函数的图像有4次与x轴相交，交点分别在X轴上的x=0,1，2，3，处。函数是x的4次方函数，当x趋近正负无穷大时，函数值都是正无穷大。因此，在（- ∞，0）和（4，+ ∞）区间，函数的图像都是处于x轴的上方直至正无穷大。

函数的一阶导数就是函数图像上某点的切线直线的斜率。
令函数一阶导数等于0的方程，就是要求函数图像上哪些点的切线的斜率平行于x轴方向的问题，平行于x轴方向的切线斜率为0。
因为4次方函数的一阶导数是一个3次方函数，
又因为原函数图像是连续的处处可导的，它的一阶导数的3次方函数也是连续的处处可导的。
令原函数的一阶导数等于0 的方程是一个3次方方程，它有且仅有3个根。
原函数在与x轴相交的4点之间的三段图像中，每一段必然存在着图像的一个极值点，在该极值点的图像切线的斜率为0、切线平行于x轴。从而可得：
方程 f'(x)=0的3个实根分别在区间（0，1）（1，2），（2，3），上。