Question

已知，如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，2为半径的圆与x轴相切于原点O，点P在x轴的负半轴上，P

已知，如图，在直角坐标系中，以y轴上的点C为圆心，2为半径的圆与x轴相切于原点O，点P在x轴的负半轴上，PA切⊙C于点A，AB为⊙C的直径，PC交OA于点D．（1）求证：PC⊥OA；（2）若△APO为等边三角形，求直线AB的解析式；（3）若点P在x轴的负半轴上运动，原题的其他条件不变，设点P的坐标为（x，0），四边形POCA的面积为S，求S与点P的横坐标x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（4）当点P在x轴的负半轴上运动时，原题的其他条件不变，分析并判断是否存在这样的一点 P，使S 四边形POCA =S △AOB ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵⊙C与x轴相切于原点O，点P在x轴上， ∴PO与⊙C相切于点O， 又∵PA切⊙C于点A， ∴PO=PA，PC平分∠APO， ∴PC⊥OA． （2）∵△APO为等边三角形， ∴∠CPO= 1 2 ∠APO= 1 2 ×60°=30°， 又∵∠POC=90°， ∴PC=2OC=2×2=4； 在Rt△POC中由勾股定理可得PO=2 3 ， 作AH⊥PO于H，在Rt△AHO中，OA=OP=2 3 ， ∴OH= 1 2 PO= 3 ， ∴AH=3， ∴A（- 3 ，3）， 又点C（0，2）， 故利用待定系数法可求得直线AB的函数解析式为y=- 3 3 x+2． （3）S 四边形POCA =2S △POC =2× 1 2 ×（-x）×2=-2x， 即S=-2x（x＜0）． （4）存在这样的一点P，其坐标为（-2，0）， ∵S △AOB =2S △AOC ，S 四边形POCA =2S △POC ， ∴S △AOC =S △POC ， ∴PA ∥ OC； 又∵∠POC=90°， ∴∠APO=90°， ∵∠PAC=∠POC=90°， ∴四边形POCA是矩形， ∴OP=AC=2， ∴P（-2，0）．