Question

设函数f（x）=ax2+lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=（2a+1）x，若当x∈（1，+∞）时

设函数f（x）=ax2+lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数g（x）=（2a+1）x，若当x∈（1，+∞）时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax²+lnx，其中x＞0，
∴f′(x)＝

2ax2+1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，令f′（x）=0，得x＝±

? 1 2a

，
∴f（x）在(0，

?  1 2a

)上是增函数，在(

?  1 2a

，+∞)上是减函数．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），
则h（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，
根据题意，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0恒成立．
∴h′(x)＝2ax?(2a+1)+

1

x

＝

(x?1)(2ax?1)

x

（1）当0＜a＜

1

2

时，x∈(

1

2a

，+∞)时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在(

1

2a

，+∞)上是增函数，且h(x)∈(h(

1

2a

)，+∞)，不符题意；
（2）当a≥

1

2

时，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，且h（x）∈（h（1），+∞），不符题意；
（3）当a≤0时，x∈（1，+∞）时，恒有h′（x）＜0，故h（x）在（1，+∞）上是减函数，
于是“h（x）＜0对任意x∈（1，+∞）都成立”的充要条件是h（1）≤0，即a-（2a+1）≤0，
解得a≥-1，故-1≤a≤0．
综上所述，a的取值范围是[-1，0]．