Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙0交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连结CD，G是CD的中点，连结0G．小题1:判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；小题2:求证：AE=BF；小题3:若OG·DE=3(2- )，求⊙O的面积．

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Answer 1

小题1:OG⊥CD 小题2:见解析。 小题3:6π

本题考查圆的相关内容。如相切等。本题利用等腰三角形的性质证明Rt△ACE≌Rt△BCF然后利用相似和全等求解相关问题。 (1)猜想：OG⊥CD. 证明：如图，连结OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点， ∴由等腰三角形的性质，有CG⊥CD. （3分） (2)证明： ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB＝90°. 在Rt△ACE和Rt△BCF中 ∠CAE=∠CBF, ∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC. ∴Rt△ACE≌Rt△BCF ∴AE="BF." （7分） (3)解:过点O作BD的垂线,垂足为H.则H为BD的中点. ∴OH= AD,即AD=2OH. 又∠CAD=∠BAD ,∴CD="BD," ∴OH=OG. 在Rt△BDE和Rt△ADB中,∠DBE=∠DAC=∠BAD, ∴Rt△BDE∽Rt△ADB, ∴BD=AD·DE=2OG·DE=6(2- ) 又BD="FD," ∴BF="2BD." ∴BF=4BD=24(2- ).……① 设AC=x,则BC=x,AB= x. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD. 在Rt△ABD和Rt△AFD中，∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD.∴AF=AB= x-x=( -1)x 在Rt△BCF中BF=BC+CF=x+[( -1)x] =2(2- )x……② 由①、②解得x=2 或-2 （舍去）. ∴AB= x= ·2 =2 . ∴S =π·（2 ）=6π