Question

如图，Rt△ABC内接于圆O，AC=BC，∠BAC的平分线AD于圆O交于点D，于BC交于点E，延长BD，于AC的延长线交于点

连结CD，G是CD的中点，连结OG
（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论；并证明
（2）求证：AE=BF

Answer 1

（1）连结OC,OD

因为Rt△ABC内接于圆O

所以OC=OC=半径

因为G是CD的中点

所以CG=DG

因为OC=OD,OG=OG,CG=DG

所以△OCG≌△ODG

所以∠OGC=∠OGD

因为∠OGC+∠OGD=180°

所以∠OGC=90°，即OG⊥CD，又因为G是CD中点，所以OG是CD的中垂线

（2）因为Rt△ABC

所以∠ACE=∠BCF=90°

因为圆周角∠CAE和∠CBF对应圆弧CD

所以∠CAE=∠CBF

因为∠CAE=∠CBF，AC=BC，∠ACE=∠BCF

所以△CEA≌△CFB

所以AE=BF