Question

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于

如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明．（2）求证：AE=BF．

Answer 1

解答：（1）猜想：OG⊥CD．
证明：如图，连接OC、OD．
∵OC=OD，G是CD的中点，
∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（3分）

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°
而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴△ACE≌△BCF（ASA）
∴AE=BF．（12分）