Question

已知圆C：x2+y2-4x+2y+1=0，直线l：y=kx-1．（1）当k为何值时直线l过圆心；（2）是否存在直线l与圆C交于A

已知圆C：x2+y2-4x+2y+1=0，直线l：y=kx-1．（1）当k为何值时直线l过圆心；（2）是否存在直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积为2？如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由；（3）设P（x，y）为圆C上一动点，求y+3x+1的最值．

Answer 1

（1）圆C：x²+y²-4x+2y+1=0，圆心坐标为：（2，-1），半径为2，所以-1=2k-1，所以k=0时直线l过圆心；
（2）存在直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积为2，此时

1

2

AC?BC?sin∠ACB＝2，所以AC⊥BC，则圆心到直线的距离为：

2

，

2

=

|2k+1?1|

1+k2

解得k=±1，直线l的方程为：y=±x-1．
（3）如图P（x，y）为圆C上一动点，求

y+3

x+1

的最值，就是圆上的点与（-1，-3）连线的斜率的范围，
显然设

y+3

x+1

＝k，所以

|3k?2|

1+k2

＝2，解得k=0，k=

12

5

；最小值为：0；最大值为：

12

5

．