Question

已知直线l：y=x+m，m∈R．（1）若以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方

已知直线l：y=x+m，m∈R．（1）若以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在x轴上，求该圆的方程；（2）若直线l关于x轴对称的直线l′与抛物线C：x2=1my相切，求直线l的方程和抛物线C的方程．

Answer 1

解答：解：（1）解法1：依题意得点P的坐标为（-m，0）．-------（1分）
∵以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切与点P，
∴MP⊥l．kMP?kl=

0-(-1)

-m-2

?1=-1，解得m=-1．----（3分）
∴点P的坐标为（1，0）．
设所求圆的半径r，则r²=|PM|²=1+1=2，------------------------------------（5分）
∴所求圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=2．--------------------------------------（6分）
解法2：设所求圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=r²，--------------------------------（1分）
依题意知点P的坐标为（-m，0）．----------------------------------------------（2分）
∵以点M（2，-1）为圆心的圆与直线l相切于点P（-m，0），
∴

(2+m)2+12=r2 |2+1+m| 2 =r

解得

m=-1 r= 2

-------------------------------------------（5分）
∴所求的圆的方程为（x-2）²+（y+1）²=2．------------------------------------（6分）】
（2）解法1：将直线方程y=x+m中的y换成-y，可得直线l'的方程为y=-x-m．----------------------------（7分）
由

x2= 1 m y y=-x-m

得mx²+x+m=0，（m≠0）-----------------------------------（9分）
△=1-4m²，--------------------------------------------------------------（10分）
∵直线l'与抛物线C：x2=

1

m

y相切
∴△=0，解得m=±

1

2

．----------------------------------------------------（12分）
当m=

1

2

时，直线l的方程为y=x+

1

2

，抛物线C的方程为x²=2y，-------------（13分）
当m=-

1

2

时，直线l的方程为y=x-

1

2

，抛物线C的方程为x²=-2y．----------（14分）
解法2：将直线方程y=x+m中的y换成-y，可得直线l'的方程为y=-x-m．-----（7分）
设直线l'与抛物线C：x2=

1

m

y相切的切点为（x₀，y₀），---------------------------（8分）
由y=mx²得y'=2mx，则2mx₀=-1---①-----------------------------------（10分）
y₀=-x₀-m------②y0=m

x

2 0

．---------③
①②③联立得

1

4m

=

1

2m

-m?m2=

1

4

?m=±

1

2

，----------------------------（12分）
当m=

1

2

时，直线l的方程为y=x+

1

2

，抛物线C的方程为x²=2y，-------------（13分）
当m=-

1

2

时，直线l的方程为y=x-

1

2

，抛物线C的方程为x²=-2y．----------（14分）】