Question

已知，在△ABC中,∠A=60°,BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,P为BE,CD的交点.且BD+CE=BC，DB=BF，△BDP≌△BFP

已知，在△ABC中,∠A=60°,BE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,P为BE,CD的交点.且BD+CE=BC，DB=BF，△BDP≌△BFP，△EPC≌△FPC。
求证：（1）连接DF、EF，则△DBF为等边三角形；
（2）S△PBD+S△PCE=S△PBC
（3）AD+AE=根号下3AP

（能做几题都没关系）

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Answer 1

证明∠ABE+∠ACD=1/2(∠ABC+∠ACB)=60°
∠DPE=∠ACD+∠PEC=∠ACD+∠ABE+∠A=60°+60°=120° EPC=60°
最好不要截取CF=CE因为BC和EC大小未知，做CPF=60度（显然F在BC上）
易证∠CEP全等∠CFP 得∠EPC=∠FPC=∠DPB=∠BPF=60 EC=FC
∠DBP=∠PBF BP=BP ∠ DPB=∠BPF=60°所以△BDP≌△BFP BD=BF　故BD+CE=BC
1.连接EF易证EF垂直PC ∠PEF=∠PFE=180°-90°-60°=30°
DP=EP=FP ∠DPE=∠DPF=∠EPF=120°所以 △DPE≌△DPF≌△EPF 得DE=DF=EF△DEF为等边三角形；
2.P到AB,AC ,BC距离相等 BD+CE=BC
S△PBD+S△PCE=S△PBC

3。证明△BDP≌△BFP；△CEP≌△CFP从而得到DP=EP；过P作PM⊥AB；PN⊥AC；证明△DPM≌△EPN得到DM=EN，从而得到AD+AE=2AM=2AN，再在直角三角形中用30°角即得到结论。