Question

如图，已知抛物线y= 1 2 x 2 +bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0）

如图，已知抛物线y= 1 2 x 2 +bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连接DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）由于抛物线经过A（2，0），C（0，-1）， 则有： 1 2 ×4+2b+c=0 c=-1 ， 解得 b=- 1 2 c=-1 ； ∴抛物线的解析式为：y= 1 2 x 2 - 1 2 x-1． （2）∵A（2，0），C（0，-1）， ∴直线AC：y= 1 2 x-1； 设D（x，0），则E（x， 1 2 x-1）， 故DE=0-（ 1 2 x-1）=1- 1 2 x； ∴△DCE的面积：S= 1 2 DE×|x D |= 1 2 ×（1- 1 2 x）×x=- 1 4 x 2 + 1 2 x=- 1 4 （x-1） 2 + 1 4 ， 因此当x=1， 即D（1，0）时，△DCE的面积最大，且最大值为 1 4 ． （3）由（1）的抛物线解析式易知：B（-1，0）， 可求得直线BC的解析式为：y=-x-1； 设P（x，-x-1），因为A（2，0），C（0，-1），则有： AP 2 =（x-2） 2 +（-x-1） 2 =2x 2 -2x+5， AC 2 =5，CP 2 =x 2 +（-x-1+1） 2 =2x 2 ； ①当AP=CP时，AP 2 =CP 2 ，有： 2x 2 -2x+5=2x 2 ，解得x=2.5， ∴P 1 （2.5，-3.5）； ②当AP=AC时，AP 2 =AC 2 ，有： 2x 2 -2x+5=5，解得x=0（舍去），x=1， ∴P 2 （1，-2）； ③当CP=AC时，CP 2 =AC 2 ，有： 2x 2 =5，解得x=± 10 2 ， ∴P 3 （ 10 2 ，- 10 2 -1），P 4 （- 10 2 ， 10 2 -1）； 综上所述，存在符合条件的P点，且P点坐标为：P 1 （2.5，-3.5）、P 2 （1，-2）、P 3 （ 10 2 ，- 10 2 -1）、P 4 （- 10 2 ， 10 2 -1）．