Question

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N且点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N且点A（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3，f（3））；若△ABC 的内切圆圆心为D，且 . DA + . DC =λ . DB (λ∈R) ，则下列结论正确的有______．（填上你认为正确的命题的序号）①△ABC必是等腰三角形； ②△ABC必是直角三角形；③满足条件的实数λ有3个； ④满足条件的函数有l2个．

Answer 1

在AC上取中点E，则可得 DA + DC =2 DE 且DE平分AC 由 DA + DC =λ DB (λ∈R) ， ∴B，D，E三点共线 ∵BD是∠ABC的平分线 ∴BE垂直平分AC，DA=DC ∴△ABC是等腰三角形，且BA=BC，故①正确②不正确 必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）； ①当f（1）=f（3）=1时，f（2）=2、3、4，三种情况． ②f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种． ③f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种． ④f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种． 因而满足条件的函数f（x）有12种．故④正确 由以上情况的讨论可知，A，B，C的坐标情况如下 A（1，1），B（2，2），C（3，1），AB= 2 ，AC=2；A（1，1），B（2，3），C（3，1），AB= 5 ，AC=2；A（1，1），B（2，4），C（3，1），AB= 10 ，AC=2；A（1，2），B（2，1），C（3，2），AB= 2 ，AC=2；A （1，2），B（2，3），C（3，2）， AB= 2 ，AC=2；A（1，2），B（2，4），C（3，2），AB= 10 ，AC=2；A（1，3），B（2，2），C（3，3），AB= 2 ，AC=2； A（1，3），B（2，1），C（3，3），AB= 5 ，AC=2；A（1，3），B（2，4），C（3，3），AB= 2 ，AC=2；A（1，4），B（2，2），C（3，4），AB= 5 ，AC=2；A（1，4），B（2，3），C（3，4），AB= 2 ，AC=2；A（1，4），B（2，1），C（3，4），AB= 10 ，AC=2 ∵BE垂直平分AC，DA=DC ∴ DA + DC =2 DE 由角平分线性质可得， |BD| |DE| = |AB| |AE| = 2|AB| |AC| ，根据以上情况可求得λ有3个情况，故③正确 故答案为：①③④