Question

已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx+a．（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，π2]时，f（

已知函数f（x）=2cos2x+23sinxcosx+a．（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间；（Ⅱ）若x∈[0，π2]时，f（x）的最大值为4，求a的值，并指出这时x的值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
=

3

sin2x+cos2x+a+1
=2sin(2x+

π

6

)+a+1．
∴f（x）的周期为π．
由2kπ?

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ?

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴f（x）的单调递增区间为[kπ?

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（2）令t＝2x+

π

6

，x∈[0，

π

2

]，
则y=f（x）=2sint+a+1，t∈[

π

6

，

7π

6

]．
∴当t=

π

2

，即x＝

π

6

时，f（x）_max=4，
∴2+a+1=4，即a=1．