Question

已知函数f(x)＝sinx(cosx?3sinx)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数y=sin2x的图象向左平移a

已知函数f(x)＝sinx(cosx?3sinx)．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）将函数y=sin2x的图象向左平移a(0＜a＜π2)个单位，向下平移b个单位，得到函数y=f（x）的图象，求ab的值；（Ⅲ）求函数f（x）在[0，π2]上的值域．

Answer 1

（I）f(x)＝?

3

sin2x+sinxcosx
=?

3

×

1?cos2x

2

+

1

2

sin2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x?

3

2

=sin(2x+

π

3

)?

3

2

．
函数f（x）的最小正周期是T＝

2π

2

＝π；
（II）由（I）得，sin2(x+a)?b＝sin(2x+

π

3

)?

3

2

，
可知a＝

π

6

，b＝

3

2

．则ab＝

3

12

π．
（Ⅲ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴?

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴f（x）的值域为[?

3

，1?

3

2

]．