Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0（1）求证：f（x）是奇函数；（2）若f(1)＝12，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值；（3）是否存在m，使f(2(log2x)2?4)+f(4m?2(log2x))＞0对于任意x∈[1，2]恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且x₁＜x₂，
∴f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）为增函数，
∴当x=-2时，函数有最小值，f（x）_min=f（-2）=f（2）=2f（1）=1．
当x=6时，函数有最大值，f（x）_max=f（6）=6f（1）=3；
（3）∵函数 f（x）为奇函数，
∴不等式f(2(log2x)2?4)+f(4m?2(log2x))＞0可化为f(2(log2x)2?4)＞f(2log2x?4m)，
又∵f（x）为增函数，∴2(log2x)2?4＞2log2x?4m，
令t=log₂x，则0≤t≤1，
问题就转化为2t²-4＞2t-4m在t∈[0，1]上恒成立，
即4m＞-2t²+2t+4对任意t∈[0，1]恒成立，
令y=-2t²+2t+4，只需4m＞y_max，
而y＝?2t2+2t+4＝?2(t?

1

2

)2+

9

2

 （0≤t≤1），
∴当t＝

1

2

时，ymax＝

9

2

，则4m＞

9

2

．
∴m的取值范围就为m＞

9

8

．