Question

设函数f（x）对任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，且f（1）=2（1）求f（0）

设函数f（x）对任意xy∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，且f（1）=2（1）求f（0），f（-1）的值（2）求证：f（x）是奇函数（3）试问在-2≤x≤4时，f（x）是否有最值；如果没有，说出理由．

Answer 1

解（1）因为f（x+y）=f（x）+f（y）， 令x=0，y=0 则f（0）=2f（0）， 所以f（0）=0， 令x=1，y=-1，由f（1）=2得 f（0）=f（-1）+f（1）=f（-1）+2=0 解得f（-1）=-2 （2）令y=-x，由（1）中f（0）=0，及f（x+y）=f（x）+f（y）， 可得f（0）=f（x）+f（-x）=0， 即f（-x）=-f（x） 故f（x）是奇函数 （3）任取x 1 ＜x 2 ，则x 2 -x 1 ＞0．?f（x 2 -x 1 ）＞0． ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（-x 2 ）=f（x 1 -x 2 ）=-f（x 2 -x 1 ）＜0， ∴f（x 1 ）＜f（x 2 ）， ∴y=f（x）在R上为增函数． ∴y=f（x）在[-2，4]上为减函数，f（-2）为函数的最小值，f（4）为函数的最大值． 又f（4）=2f（2）=4f（1）=8， f（-2）=2f（-1）=-4 ∴函数最大值为8，最小值为-4