Question

（1）如图（1），在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=20°，∠ACD=35°，求∠BDC的度数．（2）图（1）所示的图形

（1）如图（1），在△ABC中，∠A=62°，∠ABD=20°，∠ACD=35°，求∠BDC的度数．（2）图（1）所示的图形中，有像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，观察“规形图”图（2），试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由．（3）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图（3），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=______°．②如图（4）DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数．

Answer 1

（1）在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-62°=118°，
∵∠ABD=20°，∠ACD=35°，
∴∠DBC+∠DCB=118°-20°-35°=63°               
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=117°；
              
（2）∠BDC=∠A+∠B+∠C．                    
理由：连接BC
在△ABC中，
∵∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠BCD=180°，
∴∠A+∠ABD+∠ACD=180°-∠DBC-∠BCD，
在△DBC中，
∵∠BDC+∠DBC+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
                     
（3）①∵△XBC中，∠X=90°，
∴∠XBC+∠XCB=90°，
∵△ABC中，∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=130°，
∴∠ABX+∠ACX=130°-90°=40°．
故答案为：40；
②∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB=80°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC=

1

2

∠ADB，∠AEC=

1

2

∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC=

1

2

（∠ADB+∠AEB）=40°，
∴∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC=50°+40°=90°．