Question

正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．①求证：∠1=∠2；②求

正方形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线交CD于F，交BC的延长线于G，M是FG的中点．①求证：∠1=∠2；②求证：EC⊥MC．③试问当∠2等于多少度时，△ECG为等腰三角形？请说明理由．

Answer 1

①证明：在正方形ABCD中，∠ADE=∠CDE，AD=CD，
在△ADE和△CDE中，

AD＝CD ∠ADE＝∠CDE DE＝DE

，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴∠1=∠2；

②∵M是FG的中点，
∴MC=MF，
∴∠MCF=∠MFC，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠G，
∵∠G+∠MFC=90°，
∴∠2+∠MCF=90°，
∴EC⊥MC；

③解：∠2=30°时，△ECG为等腰三角形．
∵△ECG为等腰三角形，
∴∠3=∠G，
∵∠1=∠2，∠1=∠G，
∴∠2=∠G，
由三角形的外角性质，∠CFG=∠2+∠3=2∠2，
在Rt△CFG中，∠G+∠CFG=90°，
∴∠2+2∠2=90°，
解得∠2=30°，
故∠2=30°时，△ECG为等腰三角形．