如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M...
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数y=kx的图象经过带你M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y=kx（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y=kx的图象上，试求出N点的坐标．
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（1）设直线DE的解析式是y=kx+b，
把D、E的坐标代入得：
，
解得：k=-
，b=3，
∴直线DE的解析式是：y=-
x+3，
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y=2代入y=-
x+3得：x=2，
∴M的坐标是（2，2）．
（2）把M（2，2）代入y=
得：k=4，
即反比例函数的解析式是y=
，
∵B（4，2），
∴把x=4代入y=-
x+3得：y=1，
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y=
得：左边=4，右边=4，左边=右边，
即点N在反比例函数的图象上．
（3）把B（4，2）代入y=
得：k=8，
∵反比例函数y=
过M、N点，
∴若反比例函数y=
（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．
（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM=4-2=2，BN=2-1=1，
由勾股定理得：NM=
=
，
S△MNB=
BM×BN=
MN×BL，
∴2×1=
×BL，
∴BL=
，
如图所示：
∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是
，代入y=
得：横坐标是2
，
∴OL=2
，
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴
=
，
∴
=
，
∴LN=
，
∴ON=OL+LN=2
+
=
，
∴N的坐标是（
把D、E的坐标代入得：
|
解得：k=-
| 1 |
| 2 |
∴直线DE的解析式是：y=-
| 1 |
| 2 |
∵矩形AOCB，B（4，2），
∴把y=2代入y=-
| 1 |
| 2 |
∴M的坐标是（2，2）．
（2）把M（2，2）代入y=
| k |
| x |
即反比例函数的解析式是y=
| 4 |
| x |
∵B（4，2），
∴把x=4代入y=-
| 1 |
| 2 |
∴N的坐标是（4，1），
把N的坐标代入y=
| 4 |
| x |
即点N在反比例函数的图象上．
（3）把B（4，2）代入y=
| k |
| x |
∵反比例函数y=
| 4 |
| x |
∴若反比例函数y=
| k |
| x |
（4）过B作BL⊥MN于L，
在△MNB中，BM=4-2=2，BN=2-1=1，
由勾股定理得：NM=
| 22+12 |
| 5 |
S△MNB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴2×1=
| 5 |
∴BL=
2
| ||
| 5 |
如图所示：
∵直角顶点B在反比例函数图象上，
∴B的纵坐标是
2
| ||
| 5 |
| 4 |
| x |
| 5 |
∴OL=2
| 5 |
∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，
∴△BLN∽△MBN，
∴
| LN |
| BN |
| BL |
| MB |
∴
| LN |
| 1 |
| ||||
| 2 |
∴LN=
| ||
| 5 |
∴ON=OL+LN=2
| 5 |
| ||
| 5 |
11
| ||
| 5 |
∴N的坐标是（
11
|
