Question

已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，且 S n = a n ( a n +1) 2 (n∈ N

已知数列{a n }的各项均为正数，前n项和为S n ，且 S n = a n ( a n +1) 2 (n∈ N * ) （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n = 1 2 S n ， T n = b 1 + b 2 +…+ b n ，求T n ．

Answer 1

（Ⅰ）∵ S n = a n ( a n +1) 2 ， ∴ 2 S n = a n 2 + a n ，① 2 S n-1 = a n-1 2 + a n-1 (a≥2) ，② 由①-②得： 2 a n = a n 2 - a n-1 2 + a n - a n-1 ，（2分）   （a n +a n-1 ）（a n -a n-1 -1）=0， ∵a n ＞0，∴ a n - a n-1 =1 (n≥2) ， 又∵ a 1 = S 1 = a 1 ( a 1 +1) 2 ， ∴a 1 =1，∴ a n = a 1 +(n-1)d=n (n≥2) ，（5分） 当n=1时，a 1 =1，符合题意． 故a n =n．（6分） （Ⅱ）∵ S n = a n ( a n +1) 2 = n(n+1) 2 ， ∴ b n = 1 n(n+1) = 1 n - 1 n+1 ，（10分） 故 T n =1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n - 1 n+1 =1- 1 n+1 = n n+1 ．（12分）