Question

已知函数f（x）=-sin 2 x+sinx+a，若1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立．求实数a的取值范围

已知函数f（x）=-sin 2 x+sinx+a，若1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

∵y=f（x）=-sin 2 x+sinx+a， 令t=sinx，则y=-t 2 +t+a（-1≤t≤1）， 由于y=-t 2 +t+a的对称轴是 t= 1 2 ， ∴在-1≤t≤1上，根据二次函数的单调性，有： 当 t= 1 2 时，y取得最大值， y max =-( 1 2 ) 2 + 1 2 +a= 1 4 +a ， 当t=-1时，y取得最小值，y min =-（-1） 2 +（-1）+a=a-2， 又∵1≤f（x）≤4对一切x∈R恒成立， 即：1≤y=-t 2 +t+a≤4对一切t∈[-1，1]恒成立， 所以有： y max ≤4 y min ≥1 ，即 1 4 +a≤4 a-2≥1 ?3≤a≤ 15 4 ， ∴实数a的取值范围是 [3， 15 4 ] ．