Question

在数列{an}中，an+1+an=2n-44（n∈N*，）a1=-23（1）求an；（2）设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值

在数列{an}中，an+1+an=2n-44（n∈N*，）a1=-23（1）求an；（2）设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值．

Answer 1

（1）∵a_n+1+a_n=2n-44①∴a_n+2+a_n+1=2（n+1）-44②，②-①得a_n+2-a_n=2，
∴数列{a_n}中，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．
由已知，a₁+a₂=2-44=-42，a₂=-19
当n是奇数时，a_n=a₁+（

n+1

2

?1）×2=n-24．
当n是偶数时，a_n=a₂+（

n

2

?1）×2=n-21．
∴a_n=

n?24      ，n为奇数时 n?21      ，n为偶数时

（2）当n是奇数时，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-2+a_n-1）+a_n
=2[1+3+…（n-2）]-44×

n?1

2

+（n-24）
=2×

(n?1)? n?1 2

2

-44×

n?1

2

+（n-24）
=

1

2

n²-22n-

3

2

=

1

2

（n-22）²-

487

2

当n=21或23时取得最小值-243．
当n是偶数时，
S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=2[（1+3+…+（n-1）]-

n

2

×44
=2×

n? n 2

2

-22n
=

1

2

（n-22）²-242
当n=22时取得最小值-242．
所以当n=21或23时S_n取得最小值-243．