Question

数列{an}中，，an+1+an=2n－44(n属于N+),a1=-23 （1）求an.（2）设Sn为{an}的前n项和，求Sn的最小值

Answer 1

解：
(1)
a(n+1)+an=2n-44
a(n+1)-(n+1)+22.5=-an+n-22.5
[a(n+1)-(n+1)+22.5]/(an -n +22.5)=-1，为定值。
a1 -1+22.5=-23-1+22.5=-1.5
数列{an -n +22.5}是以-1.5为首项，-1为公比的等比数列。
an -n +22.5=(-1.5)×(-1)^(n-1)=1.5×(-1)ⁿ
an=n +1.5×(-1)ⁿ -22.5
(2)
Sn=a1+a2+...+an=(1+2+...+n)+[1.5×(-1)+1.5×(-1)²+...+1.5×(-1)ⁿ]-22.5n
=n(n-44)/2+1.5[(-1)+(-1)²+...+(-1)ⁿ]
n为奇数时，Sn=n(n-44)/2 -3/2=(n-22)²/2 -487/2
当n=21，n=23时，Sn有最小值-243
n为偶数时，Sn=n(n-44)/2=(n-22)²/2 -242
当n=22时，Sn有最小值-242
综上，得Sn的最小值为-243。

Answer 2

不想算

Answer 3

an+1+an=2n－44
an+an-1=2（n-1）－44
两式相减an+1-an-1=2，隔项成等差数列

Answer 4

解：（1）∵an+1+an=2n-44①∴an+2+an+1=2（n+1）-44②，②-①得an+2-an=2，
∴数列{an}中，奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列且公差为2．
由已知，a1+a2=2-44=-22，a2=-19
当n是奇数时，an=a1+（n+1 2 -1）×2=n-24．
当n是偶数时，an=a2+（ n 2 -1）×2=n-21．
∴an= n-24 ，n为奇数时 n-21 ，n为偶数时 （2）当n是奇数时，
Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-2+an-1）+an
=2[1+3+…（n-2）]-44×n-1 2 +（n-24）
=2×(n-1)•n-1 2 2 -44×n-1 2 +（n-24）
=1 2 n2-22n-3 2 =1 2 （n-22）2-487 2
当n=21或23时取得最小值-243．
当n是偶数时，
Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）
=2[（1+3+…+（n-1）]-n 2 ×44
=2×n•n 2 2 -22n
=1 2 （n-22）2-242
当n=22时取得最小值-242．
所以当n=21或23时Sn取得最小值-243．