Question

已知一次函数 y=- 3 4 x+6 的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1

已知一次函数 y=- 3 4 x+6 的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E． （1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

Answer 1

（1）对于y=- 3 4 x+6， 当x=0时，y=6；当y=0时，x=8， ∴OA=6，OB=8， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10， 则A（0，6），B（8，0）； （2）过点E作EG⊥AB，垂足为G（如图1所示）， ∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG， ∴EG=OE， 在Rt△AOE和Rt△AGE中， AE=AE EO=EG ， ∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL）， ∴AG=AO， 设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4， 在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x， 根据勾股定理得：x 2 +4 2 =（8-x） 2 ， 解得：x=3， ∴E（3，0）， 设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0）， 将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得： b=6 3k+b=0 ， 解得： b=6 k=-2 ， 则直线AE的表达式为y=-2x+6； （3）延长BF交y轴于点K（如图2所示）， ∵AE平分∠BAO， ∴∠KAF=∠BAF， 又BF⊥AE， ∴∠AFK=∠AFB=90°， 在△AFK和△AFB中， ∵ ∠KAF=∠BAF AF=AF ∠AFK=∠AFB ， ∴△AFK≌△AFB， ∴FK=FB，即F为KB的中点， 又∵△BOK为直角三角形， ∴OF= 1 2 BK=BF， ∴△OFB为等腰三角形， 过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图2所示）， ∵OF=BF，FH⊥OB， ∴OH=BH=4， ∴F点的横坐标为4， 设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2， ∴FH=|-2|=2， 则S △OBF = 1 2 OB?FH= 1 2 ×8×2=8； （4）在Rt△AOE中，OE=x，OA=6， 根据勾股定理得：AE= O E 2 +O A 2 = x 2 +36 ， 又BE=OB-OE=8-x，S △ABE = 1 2 AE?BF= 1 2 BE?AO（等积法）， ∴BF= BE?AO AE = 6(8-x) x 2 +36 （0＜x＜8），又BF=y， 则y= 6(8-x) x 2 +36 （0＜x＜8）．