Question

设函数f(x)＝ ，g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．(1)求函

设函数f(x)＝ ，g(x)＝f(x)－ax，x∈[1,3]，其中a∈R，记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a)．(1)求函数h(a)的解析式；(2)画出函数y＝h(x)的图象并指出h(x)的最小值．

Answer 1

（1）h(a)＝ （2）见解析

解：(1)由题意知g(x)＝ 当a<0时，函数g(x)是[1,3]上的增函数， 此时g(x) max ＝g(3)＝2－3a， g(x) min ＝g(1)＝1－a， 所以h(a)＝1－2a； 当a>1时，函数g(x)是[1,3]上的减函数， 此时g(x) min ＝g(3)＝2－3a， g(x) max ＝g(1)＝1－a， 所以h(a)＝2a－1； 当0≤a≤1时，若x∈[1,2]， 则g(x)＝1－ax，有g(2)≤g(x)≤g(1)； 若x∈(2,3]，则g(x)＝(1－a)x－1， 有g(2)<g(x)≤g(3)， 因此g(x) min ＝g(2)＝1－2a， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， 故当0≤a≤ 时，g(x) max ＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； 当 <a≤1时，g(x) max ＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a. 综上所述，h(a)＝ (2)画出y＝h(x)的图象，如图所示，数形结合可得h(x) min ＝h( )＝ .