Question

（2014?浙江模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M

（2014?浙江模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，BM⊥PD于点M．（1）求证：AM⊥PD；（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．
∵AB⊥AD，AD∩PA=A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．
∵PD?平面PAD
∴AB⊥PD，
∵BM⊥PD，AB∩BM=B，AB?平面ABM，BM?平面ABM，∴PD⊥平面ABM．
∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD．
（2）解法1：由（1）知，AM⊥PD，又PA=AD，
则M是PD的中点，在Rt△PAD中，
得AM＝

2

，在Rt△CDM中，得MC＝

MD2+DC2

＝

3

，
∴S△ACM＝

1

2

AM?MC＝

6

2

．
设点D到平面ACM的距离为h，由V_D-ACM=V_M-ACD，
得

1

3

S△ACM?h＝

1

3

S△ACD?

1

2

PA．解得h＝

6

3

，
设直线CD与平面ACM所成的角为θ，则sinθ＝

h

CD

＝

6

3

，
∴