如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且AN=13BC．（Ⅰ）
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且AN=13BC．（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）求二面角M...
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，∠BAC=120°，且AB=AC=AP，M为PB的中点，N在BC上，且AN=13BC．（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）求二面角M-AN-P的余弦值．
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（Ⅰ）证明：设AB=AC=AP=1，又∠BAC=120°，
∴在△ABC中，BC2=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=
，
则BN=
BC=
，…（1分）
∴
=
，又∠ABC=∠NBA，∴△NBA∽△ABC，
且△NBA也为等腰三角形．…（3分）
取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，…（5分）
∴AB⊥平面MNQ，
又MN?平面MNQ
∴AB⊥MN…（6分）
（Ⅱ）解：∠BAN=30°，则∠NAC=120°-30°=90°，
以A为坐标原点，
的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），M（
，-
，
），N（
，0，0），
面PAN的法向量为
=(0，1，0)，…（8分）
设面ANM的法向量为
=(x，y，z)，
∵
=（
∴在△ABC中，BC2=1+1-2×1×1×cos120°=3，
∴BC=
| 3 |
则BN=
| 1 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴
| AB |
| BC |
| BN |
| AB |
且△NBA也为等腰三角形．…（3分）
取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴NQ⊥AB，MQ∥PAQ，
∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，∴MQ⊥AB，…（5分）
∴AB⊥平面MNQ，
又MN?平面MNQ
∴AB⊥MN…（6分）
（Ⅱ）解：∠BAN=30°，则∠NAC=120°-30°=90°，
以A为坐标原点，
| AN |
A（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），M（
| ||
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 3 |
面PAN的法向量为
| AC |
设面ANM的法向量为
| n |
∵
| AM |
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