已知动圆过定点M（0，1），且与直线L：y=-1相切．（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹C上异
已知动圆过定点M（0，1），且与直线L：y=-1相切．（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，...
已知动圆过定点M（0，1），且与直线L：y=-1相切．（1）求动圆圆心C的轨迹的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β=θ（0＜θ＜π且θ≠π2）为定值时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
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（1）由抛物线定义知C的轨迹是抛物线，且p=2，
∴动圆圆心C的轨迹方程：x2=4y（6分）
（2）设点A(x1，
)，B(x2，
)
则直线AB的方程为：y?
＝
(x?x1)，
化简得：y＝
x?
（9分）
又因为tanα＝
＝
，tanβ＝
＝
由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)＝
＝
则tanθ＝
∴动圆圆心C的轨迹方程：x2=4y（6分）
（2）设点A(x1，
| x12 |
| 4 |
| ||
| 4 |
则直线AB的方程为：y?
| ||
| 4 |
| ||||||||
| x2?x1 |
化简得：y＝
| x2+x1 |
| 4 |
| x1x2 |
| 4 |
又因为tanα＝
| ||||
| x1 |
| x1 |
| 4 |
| ||||
| x2 |
| x2 |
| 4 |
由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)＝
| tanα+tanβ |
| 1?tanαtanβ |
| ||
1?
|
则tanθ＝
| ||
| 1? |
