Question

已知函数f（x）=2ex-（x-a）2+3，a∈R．（1）若函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；（2

已知函数f（x）=2ex-（x-a）2+3，a∈R．（1）若函数y=f（x）的图象在x=0处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=2e^x-（x-a）²+3，得：
f′（x）=2（e^x-x+a），
∵y=f（x）在x=0处切线与x轴平行，即在x=0切线斜率为0，
即f′（0）=2（a+1）=0，
∴a=-1；
（2）f′（x）=2（e^x-x+a），
令g（x）=2（e^x-x+a），则g′（x）=2（e^x-1）≥0，
∴g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）内单调递增，g（0）=2（1+a）．
（i）当2（1+a）≥0，即a≥-1时，f′（x）=2（e^x-x+a）≥f′（0）≥0，f（x）在
[0，+∞）内单调递增，要想f（x）≥0，只需要f（0）=5-a²≥0，
解得-

5

≤a≤

5

，从而-1≤a≤

5

．
（ii）当2（1+a）＜0，即a＜-1时，
由g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）内单调递增知，
存在唯一x₀使得g(x0)=2(ex0-x0+a)=0，有ex0=x0-a，
令f′（x₀）＞0，解得x＞x₀，
令f′（x₀）＜0，解得0≤x＜x₀，
从而f（x）在x=x₀处取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3，
又x0=ex0+a，
f(x0)=2ex0-(ex0)2+3=-(ex0+1)(ex0-3)，
从而应有f（x₀）≥0，即
ex0-3≤0，解得0＜x₀≤ln3，
由ex0=x0-a可得a=x0-ex0，
有ln3-3≤a＜-1．
综上所述，ln3-3≤a≤

5

．