Question

已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn=（an+1）2（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝1an?

已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足4Sn=（an+1）2（1）求{an}的通项公式；（2）设bn＝1an?an+1，数列{bn}前n项和为Tn，求Tn的最小值．

Answer 1

（1）由题设条件知4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，两者作差，得4a_n+1=（a_n+1+1）²-（a_n+1）²．
整理得（a_n+1-1）²=（a_n+1）²．
又数列{a_n}各项均为正数，所以a_n+1-1=a_n+1，即a_n+1=a_n+2，
故数列{a_n}是等差数列，公差为2，又4S₁=4a₁=（a₁+1）²，解得a₁=1，故有a_n=2n-1
（2）由（1）可得bn＝

1

an?an+1

＝

1

(2n?1)?[2(n+1)?1]

＝

1

2

×(

1

2n?1

?

1

2n+1

)
∴T_n=

1

2

×(

1

1

?

1

2

+

1

2

?

1

3

+

1

3

?

1

4

+…+

1

2n?1

?

1

2n+1

)＝

1

2

×(1?

1

2n+1

)
由其形式可以看出，T_n关于n递增，故其最小值为T₁=

1

3