Question

已知函数f（x）=x+mx，且f（1）=2．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的

已知函数f（x）=x+mx，且f（1）=2．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

（1）∵f(x)＝x+

m

x

，且f（1）=2，∴1+m=2，解得 m=1．
函数y=f（x）为奇函数，
证：∵f(x)＝x+

1

x

，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
又f(?x)＝(?x)+

1

?x

＝?(x+

1

x

)＝?f(x)，所以y=f（x）为奇函数．
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
证明：设1＜x₁＜x₂，则f(x2)?f(x1)＝x2+

1

x2

?(x1+

1

x1

)＝(x2?x1)(1?

1

x1x2

)．
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，1?

1

x1x2

＞0，
故f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（1，+∞）上的单调递增．