Question

如何证明可导函数为奇函数，原函数为偶函数

Answer 1

已知：F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x),x∈(-A,A),A为常数
求证：F(-x)=F(x)

证明：当x∈(-A,A),A为常数,
令x=任意t，t∈(-A,A),A为常数,
∵F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x)
∴F(-t)
=∫[下限-A,上限-t]F'(-t)
=∫[下限-A,上限-t]f(-t)
=∫[下限-A,上限-t][-f(t)]
=-∫)=∫[下限-A,上限-t]f(t);
而F(t)
=∫[下限-A,上限t]F'(t)
=∫[下限-A,上限t]f(t)
=∫[下限-A,上限-t]f(t)+∫[下限-t,上限t]f(x)
{∵f(x)=-f(-x),∴∫[下限-t,上限t]f(x)=0}
=∫[下限-A,上限-t]f(t)
∴F(-x)=F(x)得证
所以，导函数是奇函数则原函数是偶函数。

如果要通俗证明的话可以利用函数图像的性质。
比如，做一个以原点对称的任意奇函数图形，它在定义域内与x轴围成的面积就是其原函数的函数图形。
由于x轴下方的面积是为负，而函数图像是关于原点对称的，也就是说[a,o]与[0,a]（a属于定义域）范围内的图像总是分处在x轴的上下两边，并且面积是相等的。因此，这两块面积相加的和总是等于零。
原函数取某个值的图像是从定义域左端到定义域上某点（x)范围内图形的面积,而从x到-x范围，图像的面积为零。因此，原函数取某个值（x)的图像面积等于它取（－x)的图像的面积。这意味着原函数在这两点上是等值的。由于x是任意取的值，因此，可以说明图像上所有点都具有这个性质，即图像面积关于y轴对称。
这样，就可以证明原函数是偶函数。

Answer 2

可以构造函数，详情如图所示