Question

证明方程1+x+x^2/2+x^3/6=0只有一个实根怎么证？大神！

Answer 1

解：
令f(x)=(1/6)x³+(1/2)x²+x+1
f'(x)=(1/2)x²+x+1=(1/2)(x+1)²+1/2恒>0
函数f(x)单调递增。
f(-2)=(-8/6)+(4/2)-2+1=-1/3<0
f(-1)=(-1/6)+(1/2)+(-1)+1=1/3>0
函数连续，则在(-2，-1)上有唯一零点。
方程(1/6)x³+(1/2)x²+x+1=0有唯一实根。

追问

为什么要代-2

追答

解题思路就是：
1、证明函数单调；
2、取特殊值，只要一个使得函数值0就可以，函数连续，在>0，<0两点间连线，必定有零点。
至于-2，-1，只是感觉容易取而已，没有什么特别的地方，你也可以取0。只是数学学好了，熟练了以后，习惯上把取值区间控制在相邻两整数之间，这是一种数学素养。

追问

♡

可以画一下图吗？

Answer 2

f(x)=1+x+x²/2+x³/6
f(0)=1
f(-3)=1-3+9/2-9/2=-2<0
即（-3,0）内必有一根
又
f'(x)=1+x+x²/2
=1/2 (x²+2x+2)
=1/2(x+1)²+1/2>0
所以
函数单调，即最多一根
从而
只有一根实根。

追问

为啥要带-3呢？

追答

自己预判。
-4也行。

Answer 3

原式求导得1/2x^2+x+1，其中a=1/2>0，吊塔=-1小于0。所以导函数恒大于0。也就是1+x+x^2/2+x^3/6在R上单调递增，不存在极值。因此方程1+x+x^2/2+x^3/6=0只有一个实根。