Question

已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5

已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5-3b2=7． （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求n项和

Answer 1

解：

(1)

设{an}公比为q，则q>0，设{bn}公差为d。

a5-3b2=7，b2=(a5-7)/3

b1+b2+b3=3b2=1+2a3，b2=(2a3+1)/3

(a5-7)/3=(2a3+1)/3

a1q⁴-7=2a1q²+1

a1=1代入，整理，得q⁴-2q²-8=0

(q²+2)(q²-4)=0

q²=-2(舍去)或q²=4

q>0，q=2

b2=(a1q⁴-7)/3=(1·2⁴-7)/3=3

d=b2-b1=3-1=2

an=a1qⁿ⁻¹=1·3ⁿ⁻¹=2ⁿ⁻¹

bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1

数列{an}的通项公式为an=2ⁿ⁻¹，数列{bn}的通项公式为bn=2n-1

(2)

cn=anbn=(2n-1)·2ⁿ⁻¹

Tn=1·1+3·2+5·2²+...+(2n-1)·2ⁿ⁻¹

2Tn=1·2+3·2²+...+(2n-3)·2ⁿ⁻¹+(2n-1)·2ⁿ

Tn-2Tn=-Tn

=1+2·2+2·2²+...+2·2ⁿ⁻¹-(2n-1)·2ⁿ

=1+2·(2+2²+...+2ⁿ⁻¹)-(2n-1)·2ⁿ

=1+2·2·(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ

=(3-2n)·2ⁿ-3

Tn=(2n-3)·2ⁿ+3

Answer 2

解：
(1)
设{an}公比为q，则q>0，设{bn}公差为d
由b2+b3=2a3，a5-3b2=7得2b1+3d=2a1q²，a1q⁴-3b1-3d=7
a1=1，b1=1代入，整理，得2q²=3d+2，q⁴=3d+10
q⁴-2q²-8=0
(q²+2)(q²-4)=0
q²=-2(舍去)或q²=4
q=-2(舍去)或q=2
d=(2q²-2)/3=(2·2²-2)/3=2
an=a1q^(n-1)=1·2^(n-1)=2^(n-1)
bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)，{bn}的通项公式为bn=2n-1
(2)
cn=an·bn=(2n-1)·2^(n-1)
Tn=c1+c2+c3+...+cn=1·1+3·2+5·2²+...+(2n-1)·2^(n-1)
2Tn=1·2+3·2²+...+(2n-3)·2^(n-1)+(2n-1)·2ⁿ
Tn-2Tn=-Tn=1+2·2+2·2²+...+2·2^(n-1)-(2n-1)·2ⁿ
=2·[1+2+...+2^(n-1)]-(2n-1)·2ⁿ -1
=2·(2ⁿ-1)/(2-1) -(2n-1)·2ⁿ -1
=(3-2n)·2ⁿ -3
Tn=(2n-3)·2ⁿ +3

Answer 3

望采纳，谢谢！

Answer 4

先依题意设an=a1*q^(n-1)=q^(n-1) (q>0,n>=2) bn=b1+(n-1)*d (n>=2)
b2+b3=2a3 ==>b1+d+b1+2d=2q^2 ==>2q^2-2-3d=0 ①
a5-3b2=7 ==>q^4-3(b1+d)=7 ==>q^4-3d-10=0 ②
②-①得：q^4-2q^2-8=0 ==>q^4-2q^2+1-9=0 ==>(q^2-1)^2=3^2 ==>q^2=4 ==>q=2
代入①式得：d=2
an=2^(n-1) (n>=2)，由于a1=1符合公式，所以an的通项公式是an=2^(n-1)
bn=1+2(n-1)=2n-1(n>=2)，由于b1=1符合公式，所以bn的通项公式是2n-1
cn=an*bn=2^(n-1) * (2n-1)
Sn=1*1+2*3+4*5+...+2^[(n-1)-1] * [2(n-1)-1] + 2^(n-1) * (2n-1)
2Sn=2*1+4*3+8*5...+2^(n-1) * [2(n-1)-1] + 2^n * (2n-1)
Sn-2Sn=1*1+2*2+4*2+...+2^(n-1)*2 - 2^n * (2n-1)
=1-2^n * (2n-1)+2^2+2^3+2^4+...+2^n
=1-2^n * (2n-1)+2^(n+1)-4
=2^n (3-2n)-3