Question

有关向量组线性相关的问题

我在一本资料书上看到如下两句话
一向量组线性相关，则在相同位置上去掉相同个数的分量所得的向量组仍线性相关
一向量组线性无关，则在相同位置上增加相同个数的分量所得的向量组仍线性无关
个人认为是错的
好像与教材上说的：
若向量组A：a1,a2.....am线性相关，则向量组B:a1,a2......am,a(m+1)也线性相关，反之，若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关
矛盾了
请高人说说那两句话的正确性，并给出理由。

Answer 1

资料书上和教材上的都是对的，两者并不矛盾，注意区分下列两种说法：
（1）向量组向量总数不变但都增加（或都去掉）相同个数的分量；
（2）向量组每个向量的分量个数（即维数）不变但向量组向量个数增加（或减少）；

向量组线形相关可理解为存在一组系数，
对向量组的每一维，该系数对应的线性方程都成立，
线性无关则可理解为不存在满足上述条件的系数。

一n维向量组线性相关，说明存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，
去掉相同个数的分量，维数降低，方程个数减少，
同一组系数当然还是能使每个方程成立。
一n维向量组线性无关，说明不存在一组系数使n维对应的n个方程都成立，
增加相同个数的分量，维数增加，方程个数变多，
满足更强条件的系数当然就更不存在了。

增加向量组向量的个数，相当于增加上述线性方程的元数，
如果较少元数都能找到满足条件的系数，取同一组系数，
对增加的元数令系数为0，易知如此扩展的一组系数也必定满足条件。
上述结论的逆否命题即为，
减少向量组向量的个数，原来无关的向量组仍应无关。