向量组线性相关怎么判断？
在向量空间V的一组向量A:a1，a2，...am，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使
则称向量组A是线性相关的，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。
由此定义看出a1，a2，...am是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看k1a1+k2a2+...kmam=0这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。
此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而a1，a2，...am线性相关。
扩展资料：
线性相关注意事项：
1、对于任一向量组而言,不是线性无关的就是线性相关的。
2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。
3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。
4、含有相同向量的向量组必线性相关。
5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。
空间向量基本定理：
1、共线向量定理
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb
2、共面向量定理
如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by
3、空间向量分解定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。
参考资料来源：百度百科——线性相关
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2024-10-28 广告
1、定义法
令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向
量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。
2、向量组的相关性质
①当向量组所含向量的个数与向量的维数相等时，该向量组构成的行列式不为零的充分必要
条件是该向量组线性无关；
②当向量组所含向量的个数多于向量的维数时，该向量组一定线性相关；
③通过向量组的正交性研究向量组的相关性；
④通过向量组构成的齐次线性方程组解的情况判断向量组的线性相关性；
⑤通过向量组的秩研究向量组的相关性。
判别向量组a1=(1,2,-1,5),a2=(2,-1,1,1),a3=(4,3,-1,11) 是否线性相关？
解析：
令Aa1+Ba2+Ca3=0
即A(1,2,-1,5)+B(2,-1,1,1)+C(4,3,-1,11)=(0,0,0,0)
即有：
A+2B+4C=0
2A-B-C=0
-A+B-C=0
5A+B+11C=0
若A、B、C的解不等于零，则为线性相关。
②求该向量组的秩，若小于向量个数，即R(A)＜向量个数，则该向量组线性相关；
③若向量个数＞向量维数，则该向量组线性相关。
例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, −1, 1)，(1, 0, 1)和(3, −1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
