Question

多项式P(x)＝x^4+4x^3-2x^2-12x＋9，证明(x＋3)^2是P(x)的因式，和证明

多项式P(x)＝x^4+4x^3-2x^2-12x＋9，证明(x＋3)^2是P(x)的因式，和证明(x＋3)是P(x)的因式都是带入x＝-3么？有什么区别么？

Answer 1

证x+3是因式时可以代入，
证(x+3)^2不可以

追问

那(x＋3)^2要怎么证呢？

追答

(1)代入x=-3可以证明x+3是P(x)的因式
（2）求导，证明x+3是P'(x)的因式
做到了上面两点，就能证明
(x+3)^2是P(x)的因式

追问

为什么要求导？

追答

P(x)=(x+3)^2·Q(x)

(1)P(-3)=0
(2)P'(x)=2(x+3)·Q(x)+(x+3)^2·Q'(x)
∴ P'(-3)=0

追问

谢谢，我明白了。但是感觉你因果关系好像弄反了。P'(-3)=0是已知的，P(x)=(x+3)^2•Q(x)才是要求证的，所以你最后发的有点解释不通。

Answer 2

∵x＝-3时P(﹣3)＝﹙﹣3﹚^4+4﹙﹣3﹚^3-2﹙﹣3﹚^2-12﹙﹣3﹚＋9＝0
∴x＋3是P(x)的因式
∵﹙x^4+4x^3-2x^2-12x＋9﹚÷﹙x＋3﹚＝x³＋x²－5x＋3
且x＝-3时﹙﹣3﹚³＋﹙﹣3﹚²－5×﹙﹣3﹚＋3＝0
∴x＋3是x³＋x²－5x＋3的因式
∴(x＋3)^2是P(x)的因式

Answer 3

追答

小学的除法列式计算