Question

高二 数学 函数的单调性与导数 请详细解答,谢谢! (23 20:12:46)

已知函数y=ax^3+3x^2-x+1在R上是减函数，求实数a的取值范围.

Answer 1

y' = 3ax^2 + 6x - 1 ,
减函数要求 y'＜0
3ax^2 + 6x - 1 ＜0 对任何x都成立，
于是 a＜0 ，否则抛物线y=3ax^2 + 6x - 1开口向上，必然存在大于0的点。
进一步抛物线y=3ax^2 + 6x - 1开口向下，且抛物线与x轴无交点，
即△=36+12a＜0,得a＜-3。

Answer 2

y' = 3ax^2 + 6x - 1
减函数要求 y' < 0
3ax^2 + 6x - 1 < 0 对任何x都成立，
于是 a < 0 ，否则抛物线开口向上，必然存在大于0的点。
进一步，
x^2 + (2/a) * x - 1/3a > 0
上式的最小值一定在 -1/a 处，代入得：
1 + a/3 < 0,
a < -3

Answer 3

求导y'=3ax^2+6x-1

减函数则y'<=0 x=0,成立

X不为0时, a<=(1-6x)/(3x^2)

a<=3(1/x)^2-2(1/x)

x=3,取到最小值-1/3

故 a<=-1/3

Answer 4

先求一下导数
y' = 3ax^2 + 6x - 1