Question

已知函数f(x)=lnx g(x)=1/2ax²+bx-1. (1)当a=0且b=1时，证明:对

意∨x＞0,f(x)≤g(x).
(2)若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在单点递减区间，求a的取值范围。

Answer 1

令h(x)=lnx-½ax²-bx+1 定义域x>0
(1)a=0 b=1
h(x)=lnx+x-1
h'(x)=1/x-1
驻点x=1
h''(x)=-1/x²<0
∴h(1)=0为极大值
∴h(x)≤h(1)=0,即 f(x)≤g(x)恒成立
(2)b=2
h(x)=lnx-½ax²-2x+1
h'(x)=1/x-ax-2=(-ax²-2x+1)/x
存在单点递减区间,即存在h'(x)<0区间
-ax²-2x+1=-a(x+1/a)²+1+1/a<0
a>0 抛物线开口向下，对称轴右侧单调递减，有解
a=0 -2x+1<0 有解
a<0 抛物线开口向上，对称轴x=-1/a>0 定义域包含对称轴
顶点1+1/a为最小值<0→a>-1
∴a∈(-1,+∞)