Question

如图四边形abcd内接于圆o,ad//bc,p为bd上一点角apb=角bad 证明ab=cd

Answer 1

【此题应有3个证明：1、AB=CD，2、DP·BD=AD·BC，3、BD²=AB²+AD·BC】

1、证明：

∵AD//BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∴AB=CD（等角对等弦）。

2、证明：

∵∠APB+∠APD=180°，

   ∠BAD＋∠BCD=180°（圆内接四边形对角互补），

   ∠APB=∠BAD，

∴∠APD=∠BCD，

在△APD和△DCB中，

∵∠APD=∠DCB，∠ADP=∠DBC，

∴△APD∽△DCB（AA），

∴DP:BC=AD:BD,

∴DP·BD=AD·BC。

3、证明：

在△BPA和△BAD中，

∵∠BPA=∠BAD，∠ABP=∠DBA，

∴△BPA∽△BAD（AA），

∴AB:BD=BP:AB，

∴AB²=BP·BD，

∵AD·BC=DP·BD（2题结论），

∴AB²+AD·BC=BP·BD+DP·BD=BD（BP+DP）=BD²，

即BD²=AB²+AD·BC。