Question

求解对arctanx求幂级数时的定义区间（也就是收敛区间）怎么求的？ 因为求出的幂级数缺少偶次幂

求解对arctanx求幂级数时的定义区间（也就是收敛区间）怎么求的？
因为求出的幂级数缺少偶次幂那么就好像不能直接用a（n+1）/a（n）了，求解？

Answer 1

级数微分或积分它的收敛半径不变，微分一次，变成了（-1)^n*x^(2n)=(-1)^n*(x^2)^(n)，将x的2n次幂变成x^2的n次幂就不缺项。可以用a(n+1)/a(n)，等比数列收敛的公比。最后，再用牛顿－莱布尼兹判别法验证端点即可。

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分（Differentiation)、积分（Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，定积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

Answer 2

其实，缺少偶次幂也是可以用你说的那个方法的，只是要求收敛半径，需将直接求得的结果开根号。但按你说的来，级数微分或积分它的收敛半径不变对吧(但收敛域可能会变)？微分一次，变成了(-1)^n*x^(2n)=(-1)^n*(x^2)^(n)，将x的2n次幂变成x^2的n次幂就不缺项了。你就可以用a(n+1)/a(n)，如果还是难以理解，那就想想等比数列收敛的公比呗。最后，再用牛顿-莱布尼兹判别法验证端点即可。

追问

谢啦 还有就是问一下缺少偶或奇次幂可以按原方法求完直接开根号吗？

追答

当然可以，但有时候会忘开根号（我就忘记过）。