三重积分求解,用柱面坐标计算
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I = ∫<0, 2π> dt∫<0, 2√h>rdr∫<r^2/4,h>dz/(1+r^2)
= 2π∫<0, 2√h> r(h-r^2/4)dr/(1+r^2)
= π∫<0, 2√h> hd(1+r^2)/(1+r^2)
- ∫<0, 2√h> r^2d(r^2)/(1+r^2)
= πh[ln(1+r^2)]<0,2√h> - π∫<0,4h> udu/(1+u)
= πhln(1+4h) - π[u-ln(1+u)]<0,4h>
= πhln(1+4h) - 4πh + πln(1+4h)
= π(h+1)ln(1+4h) - 4πh
= 2π∫<0, 2√h> r(h-r^2/4)dr/(1+r^2)
= π∫<0, 2√h> hd(1+r^2)/(1+r^2)
- ∫<0, 2√h> r^2d(r^2)/(1+r^2)
= πh[ln(1+r^2)]<0,2√h> - π∫<0,4h> udu/(1+u)
= πhln(1+4h) - π[u-ln(1+u)]<0,4h>
= πhln(1+4h) - 4πh + πln(1+4h)
= π(h+1)ln(1+4h) - 4πh
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