弹性力学的常用的数学方法
弹性力学中常用的数学方法可分分成两类：
①精确解法 包括分离变量法和弹性力学的复变函数方法。弹性力学中的许多精确解是用分离变量法求得的。其步骤大致如下：根据物体的形状，选择一种合适的曲线坐标系，并写出相应于该坐标系的弹性力学微分方程和边界条件，如果微分方程中的变量能够分离，通常便可求得问题的解。能用分离变量法求得精确解的问题有：无限和半无限体的问题，球体和球壳的问题，椭球腔的问题，圆柱和圆盘的问题等。
对于能化为平面调和函数或平面双调和函数的问题，复变函数方法是一个有效的求解工具《柱体的扭转和弯曲问题、平面应变和平面应力问题以及薄板弯曲问题中的许多重要精确解都是用复变函数法求得的。
②近似解法 为求解一些复杂的问题，在弹性力学中还发展了许多近似解法，能量法就是其中用得最多的一类方法，它把弹性力学问题化为数学中的变分问题（泛函的极值和驻值问题），然后再用瑞利-里兹法求近似解。能量法的内容很丰富，适应性很强。工程界当前广泛使用的有限元法是能量法的一种新发展。差分法也是一种常用的近似解法，其要点是用差商近似地代替微商，从而把原有的微分方程近似地化为代数方程。此外，边界积分方程、边界元法和加权残数法对解决某些问题也是有效的手段。
数学弹性力学的典型问题 有以下几类：
①一般性理论 它探讨解的共性和一般性的求解方法。一般性理论中，最核心的部分是能量原理（定理），包括虚功原理（虚位移原理、虚应力原理）、功的互等定理、最小势能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯纳二类变量广义变分原理和胡海昌-鹫津久一郎三类变量广义变分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收敛性等，也都和能量原理有密切联系。这些一般性理论，是建立各种近似解法和建立工程结构实用理论的依据。
一般性理论的另一重要方面是未知函数的归并理论，其主要内容是将弹性力学问题归为求解少数几个函数，这些函数常称为应力函数和位移函数。
②柱体扭转和弯曲 一个侧面不受外力的细长柱体，在两端面上的外力作用下会产生扭转和弯曲。根据圣维南原理，柱体中间部分的应力状态只与作用在端面上载荷的合力和合力矩有关，而与载荷的具体分布无关。因此，柱体中间部分的应力有以下的表达式：
这里的x、y轴为横截面的两个主轴；z轴平行于柱体的母线；为应力分量，A为横截面的面积；Ix和Iy为横截面对x轴和y轴的惯性矩（见截面的几何性质）；N、Mx和My分别为作用在截面上的轴向合力、对x轴和y轴的弯矩。弯矩Mx、My是坐标z的线性函数，可用材料力学的方法求得。式（11）给出的与材料力学的解相同，但给出的剪应力比材料力学的结果精确。决定的问题最后可归为求解一个平面调和函数的边值问题。
③平面问题 平面问题是弹性力学中发展得比较成熟，应用得比较广的一类问题。平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。两者的应用对象不同，但都可归为相同的数学问题——平面双调和函数的边值问题.
平面应力问题适用于薄板。若在薄板的两个表面上无外力，而在侧面上有沿厚度均匀分布的载荷（图1），则薄板中的位移和应力有如下特点：
且以及x、y方向的位移u、v都与坐标z无关。对于各向同性材料，上述五个不等于零的量可以用一个应力函数φ（x，y）（艾里应力函数）表示为：
而应力函数φ是一个平面双调和函数，即
平面应变问题适用于长柱体的中间部分。若柱体的两端面固定不动，而作用在侧面上的载荷和坐标z无关，且合力及合力矩等于零（图2），则柱体中间部分的应力和位移有如下特点：
纵向位移ω=0，且、u、v与坐标z无关。对于各向同性的材料，上述五个不等于零的量也可用一个双调和函数φ表示为公式（13），不过须将其中的E和v分别代以
④变截面轴扭转变截面轴受扭时，在截面的过渡区（图3）常有应力集中现象。分析这类问题以取圆柱坐标系（r，θ，z）为方便。在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量分别记为u、v、w和
这类问题的力学特点是： u=w=0和
v、和与坐标z无关。上述不等于零的两个剪应力和可用一个应力函数（r，z）表示为：
而满足下列偏微分方程：
这类问题最后归为方程（15）的边值问题。
⑤回转体的轴对称变形各向同性的回转体在轴对称载荷作用下，必然产生轴对称的变形。在圆柱坐标系（r，θ，z）中，轴对称变形的特点是：v=0，=，且u、w、、、和与坐标θ无关。上述不等于零的六个量，可以用一个位移函数（x，y）表示为：
其中△是轴对称的拉昔拉斯算符，即
而是轴对称的双调和函数，即
⑥工程结构元件的实用理论 从广义上说，各种工程结构元件的实用理论（如杆、板、壳的实用理论）都是弹性力学的特殊分支，而且是最有实用价值的分支。这些实用理论分别依据结构元件形状及其受力的特点，对位移分布作一些合理的简化假设，对广义胡克定律也作相应的简化。这样，就能使数学方程既得到充分简化又保留了主要的力学特性。从弹性力学看，这些结构元件的实用理论都是近似理论，其近似性大多表现为按照这些理论计算得到的应力和应变不能严格满足胡克定律。
