Question

向量空间的子空间

Answer 1

设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，且零向量0 ∈ W，就称W为 V 的线性子空间。
给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}。
给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集合。
给出一个向量集合 B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若 V={0}，唯一的基是空集。 对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。
如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …中， Rn 的维度就是 n。
空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中向量的线性组合。而且，将基中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以坐标系统来表示。